Урок 17. Отношения

Карта прохождения и вопрос урока

Какую форму получает определённое количество, когда его определённость связывается с другим определённым количеством — и почему эта форма проходит три определения?

В уроке 16 количество было доведено до бесконечно большого и бесконечно малого: определённое количество, положенное вместе с тем как его небытие. Количество вернулось к качественной определённости. Но в какой форме эта определённость теперь существует? Эту задачу решает ступень 17.

После урока вы сможете

• воспроизвести переход от определённого количества к отношению;
• различать прямое, обратное и степенное отношение;
• показать, как в этих формах изменяется положение показателя;
• отличать логическое выведение от алгебраического преобразования;
• применять форму отношения к анализу количественных зависимостей — с явными границами сопоставления.

Есть ли у вас собственный ответ на вопрос урока? Запишите его — даже если пока не уверены. Спорные ответы можно обсудить в чате студентов.

Повторение движения уроков 7, 13–16

Какие результаты пройденных уроков необходимы для нового перехода? Сопоставьте этап с тем, что он устанавливает.

Пояснение. Это проверка понимания переходов, а не запоминания слов. Переход к проблеме: количество вернулось к качественной определённости. Но сама эта определённость пока не показана как форма количества. Где она существует?

Проблемная ситуация и попытка прежних средств

Где помещается качественная определённость, возвращённая количеству?

Попробуйте ответить прежними средствами.

• Взять чистое количество? Оно безразлично к определённости: больше или меньше — качество не затрагивается.
• Остаться при бесконечном прогрессе? Он лишь повторяет полагание и снятие предела, ничего не завершая.
• Указать на бесконечно большое и малое? Они суть небытие определённого количества: конец, который не достигается.

Ни одна форма не показывает, как количество имеет качественную определённость в самом себе. Следовательно, нужно рассмотреть определённое количество в его связи с другим определённым количеством — так, чтобы определённость каждого полагалась в этом соотношении.

Попробуйте открыть категорию сами

1. Какая задача осталась нерешённой после бесконечно большого и малого? Возвращённая количеством определённость не показана как его собственная форма.
2. Почему прежние категории не справляются? Они дают либо безразличие, либо повторение, либо небытие — но не связь двух количеств.
3. Какими свойствами должно обладать новое определение? Оно должно полагать определённость каждого количества в его соотношении с другим.

Какое определение вы предложили бы? Зафиксируйте гипотезу одним предложением. Сравнение с гегелевским решением покажет, почему нужно именно такое.

Обратная связь. Если у вас появилась собственная гипотеза, запишите её в комментариях — разные варианты интересно сравнить до чтения следующих шагов.

Мини-вопрос и методологическая рамка

Что называется отношением в этом уроке?

Обычно думают: отношение — «дробь», «связь двух величин». В логическом смысле: отношение — форма определённого количества; его содержание выводится в шагах урока.

Глоссарий к уроку.

• Прямое, обратное, степенное отношение — названия моментов урока; это заголовки самого Гегеля (т. I, с. 283, 285, 289). Определения выводятся в соответствующих шагах.
• Показатель — математический термин для величины, фиксирующей связь сторон отношения. Это не самостоятельная логическая категория: в разных формах отношения изменяется положение показателя.
• Внешняя определённость — определённость, ещё не выведенная из самой связи сторон отношения.
• Снятие (Aufhebung) — отрицание с сохранением: прежняя форма сохраняется как момент более развитой.

Методологическая рамка. В уроке три уровня. У Гегеля мы прослеживаем логическое движение категории. Математические записи (A/B = C, A = BC, B² = A) служат иллюстрацией уже раскрытого движения — они не доказывают переходы. Материалистическое применение рассматривается отдельно, после выведения.

Момент (a): прямое отношение

Как выглядит связь двух определённых количеств в своей непосредственности?

Бесконечность определённого количества была положена как его потустороннее — качественное вообще. Единство количественной и качественной определённостей есть ближайшим образом отношение. В отношении количество впервые имеет свою определённость в своей внешности — в некотором другом определённом количестве.

О статусе названия. «Прямое отношение» — заголовок самого Гегеля (т. I, с. 283); в принятой в курсе разбивке это фигура 17(a) Карлсона (стр. 81–82).

Связь сторон записывается как A/B = C. Запись — иллюстрация, не определение. Стороны отношения суть моменты числа из урока 13: одна — единица, самостоятельная определённость; другая — численность, безразличное множество единиц. Показатель C — «одна определенность или граница обоих».

Пример: 2/7 = C. Увеличим обе стороны вдвое: 4/14 = C. При пропорциональном изменении обеих сторон показатель сохраняется — он выступает как постоянная величина относительно изменения сторон.

Что ещё не выражено в этой форме? Стороны не являются полными определёнными количествами: каждая есть лишь один момент — единица или численность. Показатель как частное сам имеет значение либо численности, либо единицы: какое из количеств принять за единицу, самим отношением не определено.

Момент (a): прямое отношение.

• Главный вопрос: как положена связь сторон в своей непосредственности?
• Отличие от предыдущей ступени: бесконечно большое и малое — небытие определённого количества; здесь количество положено как соотношение сторон, взятых непосредственно.
• С чем путают: с дробью как результатом деления, где всё определено заранее.
• Типичная ошибка: считать стороны отношения полными самостоятельными количествами.
• Граница применения: пропорции реальных величин — предмет измерения и исследования, а не готовая логическая форма.

Следовательно, отношение положено в своей непосредственной форме. Проверьте это по тексту Гегеля.

Первоисточник и проверка: прямое отношение

Почему определённость одного количества заключается в определённости другого?

Гегель, «Наука логики», т. I, с. 281 (гл. 3, Количественное отношение): «В отношении определенное количество уже более не обладает лишь безразличной определенностью, а качественно определено как безоговорочно соотнесенное со своим потусторонним».

Гегель, там же, с. 283 (А. Прямое отношение): «В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение, определенность одного определенного количества заключается в определенности другого определенного количества, и это взаимно. Имеется лишь одна определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество — показатель отношения».

Гегель, там же, с. 284: «по определенности своего понятия сами они не являются полными определенными количествами. Но эта неполнота есть отрицание в них».

Разберите фрагменты: почему «потустороннее» количества — это другое определённое количество; что значит взаимность определённости; почему стороны оказываются неполными количествами.

Какое прочтение соответствует тексту?

Комментарий. Ключевое — взаимность: каждое количество имеет определённость лишь в соотношении с другим. Первый вариант противоречит «неполноте» сторон; третий приписывает показателю то, чего он ещё не достиг; четвёртый возвращает безразличие чистого количества. Следовательно, неполнота сторон должна быть положена — как изменится при этом отношение, покажет момент (b).

Обратная связь. Если переход от бесконечно большого и малого к отношению остался неясным, напишите в комментариях, на каком месте теряется логика.

Момент (b): обратное отношение

Что происходит с отношением, когда неполнота его сторон положена?

Стороны прямого отношения должны быть положены со своим отрицанием. Возникает более реальное отношение, в котором показатель имеет значение произведения сторон. Логика перехода — сначала; запись A = BC — после, как иллюстрация уже произошедшего изменения.

О статусе названия. «Обратное отношение» — заголовок самого Гегеля (т. I, с. 285); фигура 17(b) Карлсона (стр. 83).

Разберём связь при фиксированном показателе. В записи A = BC величины B и C — переменные: одна увеличивается во столько же раз, во сколько другая уменьшается. Каждая сторона имеет свою величину постольку, поскольку заключает в себе величину другой.

Гегель доводит эту зависимость до предела: когда одна сторона достигает своего в-себе-бытия, другая становится нулём, и первая вместе с тем утрачивает своё определение как момент отношения. В математической записи это можно проиллюстрировать ограничением области значений, но само это ограничение не выводит логическую категорию.

Показатель, по слову Гегеля, «положен тем самым как качественный, как граница»: качественное выступает особо, отличным от количественного (цитату целиком см. в следующем шаге).

Момент (b): обратное отношение.

• Главный вопрос: как меняется отношение, когда неполнота сторон положена?
• Отличие от предыдущей: в прямом отношении связь сторон непосредственна; здесь показатель занимает фиксированное положение границы сторон.
• С чем путают: с обратной пропорциональностью как арифметическим правилом.
• Типичная ошибка: выводить категорию из алгебраического преобразования C = A/B в A = BC.
• Граница применения: характер реальных обратных зависимостей устанавливает исследование, а не форма записи.

Следовательно, показатель получил фиксированное положение. Проверьте это по тексту Гегеля.

Первоисточник и проверка: обратное отношение

Чем фиксированное положение показателя отличается от внешнего?

Гегель, «Наука логики», т. I, с. 285 (В. Обратное отношение): «благодаря этому возникает более соответствующее его определению, более реальное отношение, в котором показатель имеет значение произведения сторон отношения; согласно этому определению оно есть обратное отношение».

Гегель, там же, с. 286–287: «показатель, как определяющее определенное количество, положен отрицательным по отношению к себе как к определенному количеству отношения, положен тем самым как качественный, как граница, так что, следовательно, качественное выступает особо, отличным от количественного».

Гегель, там же, с. 287: «один момент становится во столько раз меньше, во сколько другой становится больше; каждый имеет свою величину постольку, поскольку он заключает в себе величину другого, именно ту величину, которая недостает другому».

Гегель, там же, с. 287: «делаясь равною своему в-себе-бытию, она утрачивает это свое определение; при этом не только другая величина становится нулем <…>, но и она сама исчезает».

Разберите фрагменты: почему показатель положен «как качественный, как граница»; как взаимное ограничение сторон выражается в изменении величин; что происходит со стороной, достигающей своего в-себе-бытия.

Какое прочтение соответствует тексту?

Комментарий. Логика перехода — раньше формулы: сначала положена неполнота сторон, и лишь затем связь записывается как A = BC. Первый вариант подменяет выведение преобразованием; третий игнорирует границу в показателе; четвёртый описывает прямое отношение. Следовательно, фиксированность показателя достигнута. Но достаточно ли её, чтобы определённость отношения принадлежала ему самому? Это вопрос момента (c).

Момент (c): степенное отношение

Что происходит с отношением, когда его определённость должна выражаться им самим?

В прямом отношении показатель положен внешне, в обратном — фиксирован. Но и там численность сторон определена откуда-то извне, третьим. Теперь численность положена как определяемая самой единицей: единица, которая сама по себе есть численность, есть вместе с тем численность в отношении себя как единицы.

О статусе названия. «Степенное отношение» — заголовок самого Гегеля (т. I, с. 289); фигура 17(c) Карлсона (стр. 85).

Связь записывается как B² = A. Пример: B² = 16, где B — положительная величина. Запись — иллюстрация: возведение в степень показывает форму связи, а не выводит её.

Что здесь соединилось? Степень есть некоторое множество единиц, каждая из которых есть самое это множество. В учебном пересказе Карлсона (стр. 85): B = B, так что единица есть сумма — сумма же оказывается единицей. Это комментарий Карлсона к тексту Гегеля, а не цитата.

Почему B = B здесь нельзя понимать как обычное математическое тождество? У Гегеля речь идёт о таком отношении, в котором численность единиц оказывается самой единицей: инобытие, численность единиц, есть сама единица. Контрольный вопрос: ответьте одним предложением — чем это равенство отличается от «всякая величина равна себе»?

Показатель степенного отношения уже не непосредственное определённое количество: его природа — совершенно качественная.

Момент (c): степенное отношение.

• Главный вопрос: как определённость отношения выражается его собственной структурой?
• Отличие от предыдущей: в обратном отношении показатель — внешне фиксированная граница; здесь численность определена самой единицей.
• С чем путают: с возведением в степень как арифметической операцией.
• Типичная ошибка: читать B = B как пустую тавтологию.
• Граница применения: реальное самовоспроизводство величин — предмет исследования, а не иллюстрации.

Следовательно, определённость выражена самой структурой отношения. Проверьте это по тексту Гегеля.

Первоисточник и проверка: степенное отношение

Как положена определённость, выражаемая самой структурой отношения?

Гегель, «Наука логики», т. I, с. 289 (С. Степенное отношение): «Определенное количество, полагающее себя в своем инобытии тождественным с собою, определяющее само свое выхождение за себя, достигло для-себя-бытия».

Гегель, там же: «Это происходит в степенном отношении, где единица, которая сама по себе есть численность, есть вместе с тем численность в отношении себя как единицы. Инобытие, численность единиц, есть самая же единица. Степень есть некоторое множество единиц, каждая из которых есть самое это множество».

Гегель, там же: «Показатель этого отношения уже более не есть некоторое непосредственное определенное количество, как в прямом, а также и в обратном отношении. Он имеет в степенном отношении совершенно качественную природу».

Разберите фрагменты: почему степенное отношение есть достижение для-себя-бытия; как единица становится численностью; что изменилось в положении показателя.

Сравнение трёх форм — учебная схема курса (не текст Гегеля):

Какое прочтение соответствует тексту?

Комментарий. Ключ — «единство единицы и численности»: инобытие, численность единиц, есть самая же единица. Первый и четвёртый варианты оставляют прежние формы; третий сводит категорию к операции. Следовательно, движение отношения завершено. Проверим, различаете ли вы три формы.

Диалектический переход и пять вопросов

Почему движение отношения не останавливается на степенной форме?

Итог: отношение пройдено в трёх определениях — непосредственная связь сторон, фиксированная граница, определённость, выраженная самой структурой. В последней форме определённость отношения уже не выступает как внешняя по отношению к нему. Движение приводит к следующему вопросу: как количественная определённость оказывается связана с качественным определением?

Вот итог главы у самого Гегеля:

Гегель, «Наука логики», т. I, с. 291: «и есть качество и то, через что нечто есть то, что оно есть, — такое определенное количество есть истина определенного количества, мера».

Сейчас важно лишь увидеть границу достигнутого результата: Гегель называет следующую ступень мерой. Что означает это определение и как количественное связано здесь с качественным, рассматривается в следующем уроке.

Пять вопросов диалектического мышления

1. Какая категория здесь диалектически выведена?
2. Какое противоречие заставило её перейти в следующую?
3. Что снято (aufgehoben) в следующей категории?
4. Где эта категория «работает» в реальности?
5. Какое определение вы бы дали своими словами?

Ответьте письменно на первый и второй вопросы применительно к этой ступени. Какие категории здесь выведены и почему отношение не может остановиться ни на прямой, ни на обратной форме? Опирайтесь на шаги урока, а не на общий шаблон.

Обратная связь. Если один из переходов — прямое → обратное → степенное — остался неясным, напишите в комментариях или в чате студентов, на каком именно месте теряется логика.

Проверка: ключевые термины ступени 17

Заполните пропуски в логической структуре.

Отношение есть форма определённого количества, в которой его определённость полагается через другое определённое количество. В прямом отношении стороны суть лишь моменты: единица и численность. В обратном отношении показатель занимает фиксированное положение — границу взаимного ограничения сторон. В степенном отношении численность определена самой единицей: определённое количество тождественно в своём инобытии с самим собою.

Обратная связь. Написали «дробь»? Вернитесь к моменту (a): определённость полагается через другое количество, а не вычисляется. Написали «произведение» для степенного? Вернитесь к моменту (c): произведение — это показатель обратного отношения.

Задание: порядок диалектического выведения

Восстановите последовательность и письменно укажите, чего недоставало предыдущей форме. Задание проверяет понимание переходов; Stepik перемешает список.

После ответа. Если поставили обратное раньше прямого — вернитесь к моменту (b): фиксированность показателя положена лишь после обнаружения неполноты сторон. Если степенное раньше обратного — вернитесь к моменту (c): получится, что определённость, выраженная самой структурой отношения, появляется до того, как показатель получил определённое положение в отношении.

Объясните один переход по выбору: что было недостаточным в предыдущей форме и что возникает в следующей. Почему степенное отношение не может предшествовать обратному — что было бы положено до своего основания?

Обратная связь. Если порядок показался неочевидным, напишите в комментариях, между какими двумя формами возникло затруднение и почему.

Материалистическое применение

Как категория отношения применяется в материалистическом анализе?

Сначала — разграничение уровней. Гегель рассматривает логическую форму отношения. Математика записывает количественную зависимость. Маркс исследует объективные общественные отношения, выражаемые через экономические величины. Совпадение математической формы не означает тождества содержания.

Один пример. Форма отношения позволяет представить норму прибыли как отношение прибавочной стоимости к авансированному капиталу — m/(c+v). Это применение формы к политэкономическому материалу, а не утверждение, что Маркс воспроизводит гегелевскую классификацию отношений.

Метод анализа. Сначала устанавливается содержание величин — что именно они выражают. Затем фиксируется количественная связь между ними. И только потом выясняется, какая форма отношения действует и что эта форма сама по себе не говорит.

Предупреждение. Связь органического состава капитала с нормой прибыли — предмет политической экономии: при прочих равных условиях рост органического состава связан со снижением нормы прибыли. Это положение теории, а не универсальная пропорция; его характер и условия устанавливает исследование, а не математическая форма записи.

В материалистическом применении логические категории можно рассматривать как ступени познания объективного мира: форма отношения помогает ставить вопросы к объективным связям величин, но не заменяет их изучения.

Проверьте себя: почему нельзя сделать вывод о характере экономического отношения только из его математической формы? Ответ — одним предложением, до следующего шага.

Типичные и методологические ошибки

Какое рассуждение методологически корректно?

Объяснение. Первый вариант отождествляет математическую структуру с логической категорией и политэкономическим содержанием сразу. Второй принимает иллюстрацию за доказательство перехода. Третий превращает условное теоретическое положение в безусловную пропорцию. Распространённое представление: если две зависимости записываются одинаково, они одинаковы по содержанию. Почему это ведёт к ошибке: форма записи безразлична к тому, какие объективные отношения выражают величины. Диалектическое решение: форма — средство постановки вопроса; содержание устанавливает исследование.

Кейс: производительность труда и величина стоимости

Рассматриваемый процесс. Производство товара: при росте производительности труда вдвое рабочее время единицы товара падает с 10 до 5 часов. Прочие условия — неизменны. Цена товара на рынке колеблется.

Какой вердикт наиболее корректен?

Объяснение. При прочих равных условиях величина стоимости единицы товара уменьшается вдвое — это положение политической экономии. Числа иллюстрируют уже установленную зависимость; они не выводят её. Снижение стоимости не означает автоматического снижения цены: цена — денежная форма выражения стоимости, способная отклоняться от неё. Первый вариант подменяет содержание формой; второй и четвёртый превращают осторожность в запрет или скепсис. Приведите собственный пример пары величин с обратной зависимостью и предложите его в чате студентов: важно проверить, действительно ли он соответствует форме, а не только похож на неё математически.

Обратная связь. Нашли собственный пример отношения из экономики или политики — принесите его в чат студентов: разберём, где проходит граница сопоставления.

Итог, самооценка и сквозной кейс

Как связаны все определения урока?

Главный вывод (в терминах урока): отношение есть форма определённого количества, в которой его определённость полагается через другое определённое количество. В рассмотренных формах изменялось положение показателя в отношении: внешнее в прямом, фиксированное в обратном; в степенном определённость выражается самой структурой отношения. Завершение движения — переход к мере.

Самооценка

• [ ] воспроизвожу переход от определённого количества к отношению;
• [ ] различаю прямое, обратное и степенное отношение;
• [ ] показываю, как изменяется положение показателя;
• [ ] отличаю логическое выведение от алгебраического преобразования;
• [ ] применяю форму отношения с явными границами сопоставления.

Сквозной кейс курса

Вернитесь к предмету анализа из урока 1. Для каждого пункта обоснуйте границы сопоставления.

1. Найдите связь двух величин, в которой определённость одной полагается через другую.
2. Покажите, где показатель связи имеет фиксированный характер — и что он ограничивает.
3. Укажите, что в этой связи устанавливается исследованием содержания, а не формой записи.

Для углублённого изучения

Этот блок можно пропустить: он не нужен для итога урока и не входит в обязательные задания.

Двойной переход. «Для того чтобы была положена целокупность как таковая, требуется двойной переход, не только переход одной определенности в ее другую, но также и переход этой другой, возвращение ее в первую» (т. I, с. 291).

О степенях понятия. В примечании Гегель критикует философов, называвших понятие в непосредственности «первой степенью», в ином бытии — «второй», в возвращении — «третьей» (т. I, с. 292). Категория степени «существенно принадлежащая области определенного количества»: переносить её на понятие — значит смешивать сферы.

О термине «показатель». Карлсон отмечает (стр. 81–82): для математика C в A/B = C — частное; «показатель» у Гегеля — иное употребление слова.

Поэтому материал этого блока не входит в обязательные задания: итог урока можно выполнить без него.

Исследовательское задание: продолжение портфолио

Практика курса: портфолио. Это продолжение сквозной работы, начатой в уроке 1, — не новое задание именно этого урока.

Используйте тот же сквозной предмет анализа.

1. Определите предмет анализа и его границы.
2. Опишите связь двух количеств, в которой определённость одного полагается через другое — не называя форму заранее.
3. Определите, какая форма отношения действует: показатель внешний, фиксированный или определённость выражается самой структурой. Обоснуйте.
4. Укажите, что в этой связи устанавливается содержательным исследованием, а что — только формой.
5. Дайте материалистическую интерпретацию: какие объективные отношения стоят за этими величинами.
6. Сформулируйте вывод в 3–5 предложениях.
7. Выполните самопроверку: не превратили ли вы форму отношения в ярлык процесса?

Обязательное условие. Не «находите категории» в предмете — обосновывайте применимость определений и границы аналогии. Отдельно укажите, где вы пересказываете Гегеля, а где начинаете собственный материалистический анализ.

Рубрика (0–3 балла по каждому критерию)

1. Категориальная точность: три формы отношения различены, положение показателя указано верно.
2. Взаимосвязь: показано, почему каждая форма переходит в следующую.
3. Переход: обосновано завершение движения отношения и переход к мере.
4. Критическая рефлексия: границы сопоставления формы и предмета сформулированы явно.

Комментарий проверяющего

Укажите одно место, где сопоставление категории с предметом обосновано, и одно — где форма подменила анализ содержания.

Обратная связь и вопросы к обсуждению

На каком переходе урока необходимость перестала быть очевидной?

Помогите сделать курс лучше. Напишите в комментариях номер шага, непонятную формулировку и свой вариант объяснения. Спорные применения к сквозному предмету можно сравнить в чате студентов.

Вопросы к обсуждению

• Почему «другое» количество в отношении — не чужое, а соотнесённое с самым количеством?
• Чем обратное отношение отличается от обратной пропорциональности как арифметического правила?
• Почему B = B в степенном отношении — не пустая тавтология?
• Где проходит граница между формой записи количественной связи и содержанием объективного отношения?

Следующая ступень — мера.